日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 81+/MX[h  
4yUlyo b  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8<x8,J +  
X<U1 . O  
　　1、三角函数本质： DTS>Wv{Nl  
,7y0g:  
　　三角函数的本质来源于定义 dK+PX??0OG  
?Xr)~r`/!  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 F9c qOpP}  
cCS;9< dH  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 LcX;]$C7@  
y9`U$5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： "Lma@9 K%  
&*,6pf%  
　　推导： Pl#\SE  
EbP`$8]i  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。  ]:2p*  
t j rR*U+.  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ?/h%/;ml}  
3jNNtX6YJ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) f5"toZ|/  
yR@!Kl{iw}  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 F;8!gNZx  
M1^y&,hn#  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） , ~De4)|qw  
Q>L0 -=Y4  
　　[1] @ns1i<+  
([r)j)  
　　两角和公式 Y`Q+  
F~tlET  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB dl."NWc  
o3#GNJv  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ^~3~r  
Z K%[6vVYF  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #C2?+I\  
N^-Kz  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB g.pO|D  
-6-RyIqtZ  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) *rzkqx1Qz  
H `b8:31  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )"&Q$bMK  
k*Jud;3}A  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  W6}4j=pMY  
NpP<Wo 6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) :ra&p 7yB  
i!JPjmd3  
倍角公式 iv1S#n }  
6sSyhy  
　　Sin2A=2SinA•CosA >NG'L(3V  
PfZ;*Y9P  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +m>`,u&i  
T%gr *r@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） F(r>FT@]  
n3 Y*3  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） SUGG3Kn  
BYXMn {  
三倍角公式 0^3w,J3U:  
$^As>D1%  
　　 J4wLb7&h  
l7q&6v ~i  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) >FlO_)_}^  
T F7Woe  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) uh..C.Ae  
C5${$3lxe&  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) U}Vwg  
)HT lwdW)  
三倍角公式推导 wxA0KhkB~  
< kg@2`13  
　　sin3a &jX/Pelo  
7bR){hpwr  
　　=sin(2a+a) T:=Q>.  
5pkH\g`1q  
　　=sin2acosa+cos2asina HC=u|.y9  
94D76s  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina T[ PP+   
GZ? IM0q  
　　=3sina-4sin³a .]T_5<|v  
tkKE1$c  
　　cos3a E]2wRO.  
p%}s&n8!  
　　=cos(2a+a) mp+G"29"T  
Sx }<W  
　　=cos2acosa-sin2asina ^>5ugb;l  
@nwAk "  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa tE7]P(o  
@u=r}M  
　　=4cos³a-3cosa LvF;  
;3~8c#s  
　　sin3a=3sina-4sin³a uwScp'X  
dVv8Ap0@  
　　=4sina(3/4-sin²a) Ju\=wB  
x@/++njI2  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ag]/u  
d~f8hw_()S  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  erv&7  
VD p]\7w  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) B5k}ho#Q?  
P]Zx J0-$-  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] XZ7( p[/  
W{RU"  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) V4HrTe!;  
)R@ (/FIL  
　　cos3a=4cos³a-3cosa y$Qh]eN  
Il1<iPf  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ]GRAFsUGO  
?A|@O6'  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] }u-:^TI k  
SD}E0?.E  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) U$XcU!w&/  
M|"$'o  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) i|(b1o0  
Pr^:{ul  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} j`s?CO  
:w ]M'Ho\  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ny <)[oxm  
:C;[%WH#  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] airYuYAc/F  
mwQ}t!#A  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] \%fD8  
:(MbM7)T  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) u^Y'_ac  
Kv/ejxAjN  
　　上述两式相比可得 Qw'h!c`:  
{#NK Oc  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) K51[FOKV  
7 'mB}9d  
半角公式 x 4M/_0G  
!|#4MpR.l  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Q'Tw~KC?"  
^][W= e  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. uk@O) j9e  
"0SdymY  
和差化积 o8wYh-r.  
;-Vf,b#Bn  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] WC #AA  
@&1`Uns  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?LKZl{  
v5wxkE  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \rI,Wvy  
SbGse.et  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] vl1=@uT_  
h&4L_C3  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) SZS?;%@J  
cRby y0y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3LwHQ ;v  
exf\H U5  
积化和差 FIj=Q[FpnX  
J`_cN8go4m  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Av](A'N'R  
kwV2 (`  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )|G5 <|@  
(N/Z J>d  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] eF*Y %U7  
1 pTZ;   
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] HK*m{P_Sa  
BRL ted)x8  
诱导公式 !aF(--33"  
(nq*[7U  
　　sin(-α) = -sinα _]VQ]_Y5E*  
V; HcrJr  
　　cos(-α) = cosα _= `pj0ZT  
fFac{H`*U  
　　sin(π/2-α) = cosα efet #m  
NCKV|fFSK  
　　cos(π/2-α) = sinα eYEJD\Kb  
4qqD2  
　　sin(π/2+α) = cosα |{nfC-  
o8-HKi  
　　cos(π/2+α) = -sinα hY<0<ja  
Wj:[1!d2Yx  
　　sin(π-α) = sinα ~@ioJuh  
Fcq|s^Z  
　　cos(π-α) = -cosα T(ljx\.4  
i!?u61<c  
　　sin(π+α) = -sinα Yy4p$eQ  
{^q}Pm[Ej  
　　cos(π+α) = -cosα y:VV@4  
=iJ(~+R8  
　　tanA= sinA/cosA 5Ju/)b  
hXoCU$d<  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα }A+'XqWi  
j?tRxkU  
　　tan（π/2－α）＝cotα { Lk)M%P  
U1L13g$  
　　tan（π－α）＝－tanα ;*ai=!4)  
E8=&Vowf  
　　tan（π＋α）＝tanα d\-xs3Dt  
5$'Xf>A#  
万能公式 @ ""5d  
n{ !Ji0KA  
　　 QpWP} @  
2Jg|K]{)  
其它公式 2-c9UKWO.+  
yBx, X<O?  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 IZ~L(   
Zg) 1eh*]A  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 $oNa?{  
qH u#R q  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 DY^#KlA  
' bh@8M  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  7 _v(%A  
<u[ paEbV'  
　　对于任意非直角三角形,总有 Tr(T *Z7  
Q\ETC"<,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC DJh :tZ  
<5v@n7  
　　证: }38;aILh  
TS>xG Ku  
　　A+B=π-C r4oDu;  
&`#9Ua  
　　tan(A+B)=tan(π-C) :yy@~~  
=s_v(;  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) bya/9 |"8M  
kM_Q +In  
　　整理可得 9dVW>3@Fq  
Jf 2ryMq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \e7V f  
CKP.Vd'a-  
　　得证 GRb$dCng\L  
Q} H+VE  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Wz8 Dt  
b&fRCDvh  
其他非重点三角函数 D6>3vltW(  
m=O?CXS  
　　csc(a) = 1/sin(a) S ISN[AVL  
-]H*LlHm)  
　　sec(a) = 1/cos(a) ( =-Ne   
n;y'N`?  
　　 Z!@\Dxn'o  
Q5Tx3jv  
双曲函数 |\@$E[<  
6&o;]|r6f  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 t4.FagF 8  
U hR\boag  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 LPBrdo  
]{Kn*!7g:  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /^BU9]NB{x  
B:sKWa=*  
　　公式一： aRGX(b/a  
4 vK*biK  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ;p"hD)ZHN  
VSTr`3 X  
　　sin（2kπ＋α）= sinα !SsgDm@RW  
z2F/b)Cn  
　　cos（2kπ＋α）= cosα A1XX7dN  
sjm]!iwm  
　　tan（kπ＋α）= tanα tV& Dx  
-}s:]z1JB  
　　cot（kπ＋α）= cotα  !R%m"  
<`6P Ng  
　　公式二： aA H=JZ  
WUVmYAf  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： wH)},^Q[  
s51 UreQ  
　　sin（π＋α）= -sinα HTE`g~U  
uAICK?DD9  
　　cos（π＋α）= -cosα (9fMRAixK  
>&rte8  
　　tan（π＋α）= tanα / E{hV J  
#n^oWB  
　　cot（π＋α）= cotα W|FN]HVQD  
l$fgA7  
　　公式三： oB78NWrA$D  
Y\S[zwtX  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： TztnP~7Ht  
V5QDGQ  
　　sin（-α）= -sinα qI-G$~?$  
\LS 3J|_^  
　　cos（-α）= cosα ]ehQ2cXn`P  
+F:?M: k  
　　tan（-α）= -tanα X. ,hr  
+;<#D"Pc  
　　cot（-α）= -cotα yp:Vf7!}T  
~t"#  
　　公式四： Pl, 5A5 <  
guWp7?%m  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ? Y$5xc(2e  
4"JLA|b"1  
　　sin（π-α）= sinα mfe!/xo  
0v?~?W  
　　cos（π-α）= -cosα n6<.l<k\9t  
qP/VX@+  
　　tan（π-α）= -tanα -JTK yLA2  
 pQfl#d  
　　cot（π-α）= -cotα |AO{N[|/  
0E1ZgFD  
　　公式五： /+|G.V jM  
#-)' b'0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： \Mw{*c|nGJ  
6`$Z:\8v5/  
　　sin（2π-α）= -sinα Uc&yW9TTq  
GRT{\;y   
　　cos（2π-α）= cosα do B*&Rj8  
7M-W1Ah?  
　　tan（2π-α）= -tanα $s:8{ :  
-t !yv  
　　cot（2π-α）= -cotα q `03er'{T  
U+NyeUo  
　　公式六： 7\2]&I;  
AN=xfK  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： yaFIm )  
w9oXUW[|  
　　sin（π/2+α）= cosα k5U3&M  
{Ii~aox^  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;+p4N+b6  
@CI^09I^1  
　　tan（π/2+α）= -cotα i@}1?l%  
)L%jBr  
　　cot（π/2+α）= -tanα n}OD"s> &  
ZI/l6r  
　　sin（π/2-α）= cosα h.KSfR  
j FE2t  
　　cos（π/2-α）= sinα &8+{bFaoL  
r1_p U> ?  
　　tan（π/2-α）= cotα *0qUEYtH  
!Oc{k]  
　　cot（π/2-α）= tanα P3o%-bX5@  
{a {d(-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα +ECJu+IT6  
ovt|;7<7  
　　cos（3π/2+α）= sinα ?m L #i  
,`t<Euw  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @^2c]G  
O pZRej8  
　　cot（3π/2+α）= -tanα S98J W.  
( tTkvTpJP  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 4b~0]*T  
cyv2b;F  
　　cos（3π/2-α）= -sinα I F*s  
|F=`;&7  
　　tan（3π/2-α）= cotα JlKiV<F$  
.X5A(j>{q  
　　cot（3π/2-α）= tanα >K^bKyB>P(  
{q=u=Ph|  
　　(以上k∈Z) 6 :9;e?"]c  
|0*]Kqs  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 < Z]&5UhH  
D bJkRr8Z  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {%lw85  
taOwI  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1!_cV2  
vo<8K  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15578) |  收藏