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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ( #OCuL3  
jR`%\)N_  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. y27%.OPV  
LA=$e5  
　　1、三角函数本质： "e \&tivb  
=yk[4V1A  
　　三角函数的本质来源于定义 3B!IF]  
`oK[~&  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 E.M#c^JzU  
8Z(^Wysv(l  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 tcL6O7Ww  
47}I;|tVED  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： <pvL'Z  
@2Hu:W|  
　　推导： +@H{[#~P  
(/3yItZ[+  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 !M{|.96  
K_Vf .Y  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) f'(wg(+  
,38`%Pu,Y  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 1|99g+_3  
U 1`B*n+  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 - ,a6T0Fe  
DB6a9;\W>P  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） By+h  
^"Mnj&?n.  
　　[1] F7j5t  
N|8Uq`  
　　两角和公式 pjBMe06E  
D@[1M]*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }Kavd,!  
rC%6EJz  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  aFXk3p0  
&$I{7  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB q<&pRi-6  
Nw.&H'o  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB r?-m]0  
].#,qSE  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) kNh,cM=N\  
fJ:P~O(?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cD Wt5o  
W(HJ@O1m  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  AM\j g0il  
[".q;5x(  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) TH6*a$+bl  
[IvaWJ]  
倍角公式 J f$%|5g  
DM-Wl8 y}  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;s%#K|x  
Pgj3Ek?  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 yD[)X5X|OS  
;dbP@ar3  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ywYCb/ 4  
IWJTYyL$Z  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ;sa!cFy  
y`@50(  
三倍角公式 U>B'=i>:  
V\{ @ #6  
　　 ]v_^uG1i}  
tFk7:i.  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) l;CxU )s=  
\jAaM|k?&  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 0f/aRI62  
YN!U n1i  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) &yA7|9+i(  
T{v 8  
三倍角公式推导 b+/z0u_Z  
_>N0I=  
　　sin3a w'[Swv|L  
x^Fg:  
　　=sin(2a+a) =I*Y4;"yW  
%qLiCQGH  
　　=sin2acosa+cos2asina 5{k,iC6U  
,5(Lu`f  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina URIfdspTX  
uQ"k!+p|  
　　=3sina-4sin³a ])HSF(hq  
v{kA$sv  
　　cos3a JC\]rYz\  
yWW)xH |  
　　=cos(2a+a) ; poFbg{'  
("E\SbGQd  
　　=cos2acosa-sin2asina "w6LM[]Q0  
?awx$MJ'  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 19hCe` :  
M<Ce-Aa3  
　　=4cos³a-3cosa Eev/t0y  
')[#:=*5  
　　sin3a=3sina-4sin³a =l}1goP6  
y)E @(E  
　　=4sina(3/4-sin²a) y]t5vwJ|#  
L2kgu  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] B-iIY  
t gQ{VT6  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ;o4FD9  
mG P>n>@B  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) y`-|]p,!_  
)gY7S>dK>  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;C 0IH%9  
n;F~'&  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) k[bT gN7  
F).v l!  
　　cos3a=4cos³a-3cosa \M2b*wl  
| 6 xwLM  
　　=4cosa(cos²a-3/4) h6.(L  
<Acm=vkW  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] /H)SX^ Z  
^\keUmG)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \ONJ)p5t  
N?e!:En?i$  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) l7y?J\Y  
''V4/F{*  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} -)Y?I}m}u  
C #CEg L+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ai}< Tl  
ya s H~Wp  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 'X]0 );D"  
&Z;Pkx;K L  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ; [*@=tV  
28  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ZB)UHno?  
IEMiIX  
　　上述两式相比可得 "5:Ei`J3A  
^4\Vi@[  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) !E=X~*T  
_"|Hr2ha  
半角公式 L#1*ZM  
u 6)CC7  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); HM9LEqz-c  
XMC"^ZT=  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. )%g'WH  
Ee;Ch*C}!9  
和差化积 g~!&HhP|  
t92Dy";  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #t<bPI4wq  
${L; O(XZ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c)0&bQ3d  
7TP23kAu  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @MUj*yxk2  
I>% Cz   
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P< +x_W$  
ZY:($;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ,-``ALP  
FyX3`v*a  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ; &&Cb2Q)  
7{{vP)I  
积化和差 =[t2%,p  
d#oFAv?e1  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] dV]p r&?  
LEh {$B*y6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] T(Jm&  
|*=q_V1\  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ~]c)vX.[  
s 2TF  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] tZ'>=@zw  
Zsq}+Jl:/  
诱导公式 Siwl1enc=  
}4+O'!  
　　sin(-α) = -sinα X~z0q\i@Z  
Pk_o_p  
　　cos(-α) = cosα sgi >Af  
UT8'5rpV?  
　　sin(π/2-α) = cosα >/f#(F^h  
rwCQm}NM  
　　cos(π/2-α) = sinα t02#n&1z{  
*i $K  
　　sin(π/2+α) = cosα Fk2tf=X  
:[zy}@ y  
　　cos(π/2+α) = -sinα jr>Q8;  
p31qO  
　　sin(π-α) = sinα 'UQ.XTL;  
3&t'@Z'3  
　　cos(π-α) = -cosα #UxP_/Ut  
u2:dgz_Hm  
　　sin(π+α) = -sinα <2Y7 Z`*  
e0o5M~;4m  
　　cos(π+α) = -cosα [kdX6+;  
Bu$S-Tq2>  
　　tanA= sinA/cosA {J f]}I  
hiM>bLM  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα XKS<jEv}  
b9Xi #OD.`  
　　tan（π/2－α）＝cotα #Te''+e)N1  
'l c0K7Z"  
　　tan（π－α）＝－tanα [@/x%uR  
)n~C0G4  
　　tan（π＋α）＝tanα s;X$r[q  
4. E.~i{  
万能公式 X 3 ,dNpW1  
`nb=Bj  
　　 :\h .2qU9  
B rAu9,?\  
其它公式 |\*{{&e  
]=pFS3@'  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 p]eO|Ewo  
{A5m+d  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 -9l=j  
F2 Oxi:K  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 8CNb#B+  
b &qEB  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `rmo\dc$  
fhB(9*t<G  
　　对于任意非直角三角形,总有 Q6P)R7L }  
B h.P'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC mGL>t@J  
]q5ud<^%/  
　　证: uxCe&Vc>  
 S:7=[T_  
　　A+B=π-C E?!/|  
aVr p*  
　　tan(A+B)=tan(π-C) w,JD[ (  
QZ,@(k$  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) $YJQIx /  
c5;?M/J  
　　整理可得 t;@9MhM.  
&DZ4!(OL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tsU=r8T  
WyY<4(+  
　　得证 K!Zyty02   
|nV-*?  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Zwk_%Ot  
?uHp {  
其他非重点三角函数 $X&tf2UB  
*4~LM<_X  
　　csc(a) = 1/sin(a) =_x;M'f  
%w33dK  
　　sec(a) = 1/cos(a) R AbsMG]  
0rO|, (  
　　 }9%% =x  
0A.WR=e#p  
双曲函数 5.B-R&C  
^=j%lpr)?  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 l,S?ib)  
3J>l;RT  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 bN8wM7}`  
+boul`y#  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `.URnJV/  
"|#YZ  
　　公式一： 0-$$#Y|  
Np,HCy]Ze  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }T)GJwk-  
;mGbumNb  
　　sin（2kπ＋α）= sinα >>z=~*Wc  
$xd{P7>3  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ] kCT|(272  
!3(194KN  
　　tan（kπ＋α）= tanα <B&*c9~a|  
U~tnOSC  
　　cot（kπ＋α）= cotα <x}3Rp  
xI|cuZ  
　　公式二： HR0  
9sp-FDj~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： "5:("  
fc}B9^a  
　　sin（π＋α）= -sinα g_s ~U  
3c3M6HR'e  
　　cos（π＋α）= -cosα xw[rsI`  
QLV?2VG}  
　　tan（π＋α）= tanα vGgaZq"I  
WkgXP  
　　cot（π＋α）= cotα Z9^Kw4j  
d[l_N;SS  
　　公式三： JW:2myg.Q#  
U~1NypOU  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： w1'jm" o  
F!Z e<!sn5  
　　sin（-α）= -sinα v^v h(mW%  
nX"_wo?  
　　cos（-α）= cosα S}YG6x6  
v5}dZrT/  
　　tan（-α）= -tanα pO@n&4`m  
3#'t_L{-+P  
　　cot（-α）= -cotα #aSyi&  
`\NsA.7  
　　公式四： kyOV1xw  
y]O`Y]c  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -T*uEi  
S|MV  
　　sin（π-α）= sinα 3X?{yzCn  
B6/%NAZ  
　　cos（π-α）= -cosα (U = 1k  
3@i` 5Y  
　　tan（π-α）= -tanα 5U'T __  
 #*v yw  
　　cot（π-α）= -cotα DWLm5SC{n  
)O_LTnR  
　　公式五： 41kW(gx_B  
k0?b$m"`?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sm$W9PZ2  
b,>TTb@  
　　sin（2π-α）= -sinα 8]rl620  
i3Nf '3  
　　cos（2π-α）= cosα ] <Bo6XWo  
zV,*h0  
　　tan（2π-α）= -tanα Q p pdUL^  
bp>JW9O?sc  
　　cot（2π-α）= -cotα wVA fesmPC  
M\toYA)  
　　公式六： (6K+n<v  
N $Bg$\$'  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： u$x;4qNl  
BK uI*@  
　　sin（π/2+α）= cosα *NiRfH"H[  
iNSy}j  
　　cos（π/2+α）= -sinα {.j..m=  
pt("S&kp  
　　tan（π/2+α）= -cotα =V;U i|Q  
"9RN^g M(  
　　cot（π/2+α）= -tanα .F]F";P)E&  
Qsh%{bMk?  
　　sin（π/2-α）= cosα #5G o~.  
dN2,M e/!  
　　cos（π/2-α）= sinα t?BT_;Y  
8XNjgjCm  
　　tan（π/2-α）= cotα %X2SU3CBj  
{E4nJa$v  
　　cot（π/2-α）= tanα ~"/i4YP  
ZHBQ'6QS  
　　sin（3π/2+α）= -cosα '12 jC Y  
xjuc0kk  
　　cos（3π/2+α）= sinα DG/{Bj)aV  
 r]#:/k,  
　　tan（3π/2+α）= -cotα dT"K T:  
zH]qx@  
　　cot（3π/2+α）= -tanα V!UpvBv>  
-$\Brz 1:  
　　sin（3π/2-α）= -cosα o3bOiTBf7  
hUYb)><!  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ]u`Ny?r#d  
ineiJ=)  
　　tan（3π/2-α）= cotα 59]6o'"|d0  
t}V eb 0]  
　　cot（3π/2-α）= tanα I P_/L&c  
$Zr4{rQo  
　　(以上k∈Z) `:;zd j}  
~&dgCk  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 sG4)}BE  
B6H'68F  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = OiQ*7a8p  
R!PDvmU  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } k%z<EI.  
Eu6':5e  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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