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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 f-*>-t?e  
"t5N S#K  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. MLI@"i+V  
BP:o<wO  
　　1、三角函数本质： 2] k er  
J]/LpcJ  
　　三角函数的本质来源于定义 2h/*_@ {8  
PCN;%PF  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 p<{IO y  
mmWwl7g3  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 d Pvw;`yW7  
bEH QUj  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： }KiBqJb/U  
;kYE'  
　　推导： {bo H3"S/  
k@ eljIS{  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 woFSh  
0jfk=bPE  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Hk'T~1$  
d/{; )t  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ^aZ_B;t,*  
nWQoy  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 M4S% _{  
W#|H&[]J  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） *-Gj93>}  
[8%9X (E,  
　　[1] _.PKD?1  
: Vw#31)  
　　两角和公式 tp:2Cb-Xk  
U-[j)*xsw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB *5WGtX-  
0LQPQs.iN6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  v3"|ts h$  
~ p`GMb  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB oo@%ll)  
fZggWy{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zLZ!'7MX  
@3*hf@6!\  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) `3)>& }?*  
<4?/z  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) +;+3h<g7  
S=10o`,$  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +7>'+G~a  
p7qs:5  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) S&@a7$m@  
bSw7mv4$U  
倍角公式 _AE( kJm  
M(gU3?=  
　　Sin2A=2SinA•CosA BX mY 9  
_bcan09QJ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 *&bO&0q0  
_6 ,r$ukH  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） gng$j  
@:z$%mya=  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） <I0a4U^  
9\i ^89oN  
三倍角公式 |@p7s%   
N f[ , lmw  
　　 Bl^S  
F6xedlYt{G  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) PPgIO9JW  
@m]8su/6  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ~tB9+=}  
^W, 4  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) lc_ GyFc  
j{90Y}  
三倍角公式推导 >D\]Z-@[  
V^cw!_|  
　　sin3a g;eHc>RY  
@8=d] &Z  
　　=sin(2a+a) 7R#SrkR&  
;H` ,rj+  
　　=sin2acosa+cos2asina .;4A3A*j<  
#D*^~4F6S  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina uj|Y7soKM@  
BygQ.zZX2  
　　=3sina-4sin³a b5TdY^o'  
L{+tPxnA  
　　cos3a 9Ke;B<i>  
);o&Y!wAq  
　　=cos(2a+a) HRB.p5UA6  
Ocr\o  
　　=cos2acosa-sin2asina K]x_dR:  
DGd\h54  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa WUbx9mmA8  
R R2Tj,i  
　　=4cos³a-3cosa AmBqJl?i  
~`53ZnU  
　　sin3a=3sina-4sin³a 7 T SEaoT  
>okVf~R`  
　　=4sina(3/4-sin²a) @@uH%g  
TbWbF&R  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] U~X<n  
}`)G&Jj  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) RQa -\}  
;. B WW  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ^&g?cz$b  
N3|X~h~_  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] zQ@ )K  
r+e'^Qxd  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) f@~>p#16  
*rEb  
　　cos3a=4cos³a-3cosa KZwIN9 y  
-`'Q6"R  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 0JJYu&  
#On=O%">  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )Yb7)eS.B  
u<; b tD   
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \nZ'71A   
$w-/5yq`  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ,i =]yU  
sJ 3'|  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 1e$X"b6V  
!qC,GCSFE  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) x7q]t}w{  
sG}u0o  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] >ARev]FD[  
)v+0 [w0`  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 4KL?cyck  
CLv`SO  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) P3zCP)   
4'>OrQ[  
　　上述两式相比可得 If5QBck  
);B:Um*  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) /"<+XJj  
u"95kasjmV  
半角公式 YNw'I qc*  
K :Z<?9^q  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); (8-&4t|eG  
eA 6zL4G  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Bd CdH  
/6}:m5  
和差化积 6\ T4,$y  
G0 O74W$  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9"3:e'  
ajx!>T9Jh  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }Q,1F)G\#I  
;|[|]/Su3  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Hq QWh8n  
mOGfO@rn  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5o"1@_M^#  
k6^ ]("N!^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) I29ab24?  
B)Vz?""9  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @ -PxZS~O  
`-Kv~G  
积化和差 } ]l5TJKu  
0gG6Rjfl  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M jo&>jl  
v4{{ j r  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !{x SD  
* s$7P i  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] D",`t5`c  
~jCE!gE  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] V]qOI{ Na  
xia nx+  
诱导公式 IQGoi~=<n  
b,V_B%L+  
　　sin(-α) = -sinα 6(!7 ?e!u  
LbMA'eL#  
　　cos(-α) = cosα j '1Ys%R  
Z:444OrT^  
　　sin(π/2-α) = cosα o:a9=~ zC  
wOdIbe  
　　cos(π/2-α) = sinα !;a) C[>  
V*<=p{H&5  
　　sin(π/2+α) = cosα a!ct4pv  
R 2sh/7  
　　cos(π/2+α) = -sinα }Si6"D]  
me9E  
　　sin(π-α) = sinα aA4g3@hb/  
!Qh7_\bKr  
　　cos(π-α) = -cosα ey_%m,m  
b? geE  
　　sin(π+α) = -sinα Y_"6W<96  
K8w\N!  
　　cos(π+α) = -cosα Ylas=  
KF>>L|UzW  
　　tanA= sinA/cosA '&1Ot   
[vlbmGH-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα *G}%\ioR  
yho`^'8  
　　tan（π/2－α）＝cotα +B!xOq   
wf< v](  
　　tan（π－α）＝－tanα =r%KaLS  
1YEHRkH  
　　tan（π＋α）＝tanα 9DO I0(  
P?#I((T  
万能公式 d(q$58\Y!  
D`A!njO=K  
　　 F ?y7Om  
4VX NA)QKD  
其它公式 zYAg:_au  
jON+(l%!;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 #- g`  
1S$robI}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 jJYzAD)`H  
wr$JBS%g,v  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 N`Q9Zgu  
#x ]s  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 a,!i*1w  
ZE.O MbX  
　　对于任意非直角三角形,总有 \DCpxE  
(Mmke  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8,u>L5\  
A.6? G#8:  
　　证: uaF" uw+  
Y)zf=JD  
　　A+B=π-C ',Nf,Yw  
||yhoSVk  
　　tan(A+B)=tan(π-C) *$(aBu4s  
Pr';X(]yn  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) I2"5bd  
r, hMI3  
　　整理可得 L.mX (G1  
W)u kea  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?1|,u="]  
NdQCGaz  
　　得证 >A%\l~l`  
c* /k^kTB  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 lfa[ E6v.)  
L#3.aFF  
其他非重点三角函数 (uXE*=3S  
>lTaD_3et  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~Vg;M@%i:  
54`5j5b  
　　sec(a) = 1/cos(a) R,2@CZvm  
c!aZ D)  
　　 Pq#$XOzD  
V<byAS  
双曲函数 |Y=Dq~  
Jm %qdv?  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1 Uh{V  
&^PwJ)w#  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Of.vrVD  
Dr#U_JWU=<  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 'N`=0-5c  
$qotku +  
　　公式一： Q6S\UB6  
AbIDXIlIn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： >uUYkS!D  
\!GY>d-\  
　　sin（2kπ＋α）= sinα |9hI#G+  
jj| X*0T  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ~TmQp8N;  
N)8*b.cr  
　　tan（kπ＋α）= tanα EcrY %=  
m:"x*dwc  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0h{xCw}  
jTJ]({  
　　公式二： '9 x~  
"(f   
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： b$] @F?Oy  
k1uU[(n*#}  
　　sin（π＋α）= -sinα R}7L0#_Ard  
2 Wz8*'  
　　cos（π＋α）= -cosα d@TFYwoc^.  
J%I`jcQ;j  
　　tan（π＋α）= tanα 1O/93#S  
0o]bf8o  
　　cot（π＋α）= cotα NCBpA[L  
BLgvODyhv  
　　公式三： &+4L %  
6{Y ]?O*f  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @~XlYr+ r  
!R(M&.nS  
　　sin（-α）= -sinα Gl<qcx!)O  
nY:Y{   
　　cos（-α）= cosα >b#U9JWP  
;V,r  
　　tan（-α）= -tanα ndlFc&te%  
-0C(3  
　　cot（-α）= -cotα A[wniprb3N  
:j ^aC!|  
　　公式四： =2U R8^>  
y'<) x?h  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sn5 9L$  
vVv;E)v  
　　sin（π-α）= sinα K'ACtJ`H  
9ppbC#"F  
　　cos（π-α）= -cosα Ql;_  
<?*doqM  
　　tan（π-α）= -tanα AyL S5a  
UyM>c:2'  
　　cot（π-α）= -cotα 7\O"R  
[ CS8j5%  
　　公式五： V1d4H53V  
M73.`k,7  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 9fl/iy%H  
q\r%7]bo!  
　　sin（2π-α）= -sinα o\Z5jUzy  
268;=RE(~  
　　cos（2π-α）= cosα T-W<{jTK  
jf;V@ i  
　　tan（2π-α）= -tanα c" /V7S_C  
*Em}|}  
　　cot（2π-α）= -cotα 0YUM+w@[  
0a7R4W2H  
　　公式六： |AI.`6(A  
[$0q -ff  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： AM >q?   
vPA=  
　　sin（π/2+α）= cosα J,d6^% p9  
4H%Rdar=5  
　　cos（π/2+α）= -sinα _&[jB_mm`  
{ qHc+;  
　　tan（π/2+α）= -cotα m-N=<HVB  
b/{K Vo  
　　cot（π/2+α）= -tanα 5z,esRc  
8u fKy4qA  
　　sin（π/2-α）= cosα /a Podk  
c_A$RN9!A  
　　cos（π/2-α）= sinα AAglY},_du  
W(] "<)R  
　　tan（π/2-α）= cotα ~1}t%Jd}~  
#T%i W-  
　　cot（π/2-α）= tanα w]dprl!L;]  
=su2h2h  
　　sin（3π/2+α）= -cosα YRG<fe3  
>,,V4*nn  
　　cos（3π/2+α）= sinα n3 "/G}r  
( WM0f#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~8 -ydU]  
1CfQ)S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα *v{.9f OL  
AjlMw^X7  
　　sin（3π/2-α）= -cosα - (K\e=  
,Mp"nRIGH  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Y)Zn x)  
'Ug`j@7$  
　　tan（3π/2-α）= cotα Lz%Y(^=43  
2j[8}.V:  
　　cot（3π/2-α）= tanα CpkH==x  
'yPJL /RQ  
　　(以上k∈Z) `:uk @q5  
 (mA.Zo  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9wiGr"E1  
?f!Kus  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = @"dFM?$W  
oTsm#45^w,  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Ps<.wLD+  
D}YBS$5N)j  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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