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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ,-wMo l  
7rX &w@Jd  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. W8q <iKYG  
~BE5bx[lu  
　　1、三角函数本质： JK O|^Lc  
eR>k E  
　　三角函数的本质来源于定义 E> _ QW  
i"9Myns3  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Gq!Zeh=  
cPIEYaSk  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 WnH&Iq  
1wy` [x  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： N1)F+6X  
|pW5PQ 0%e  
　　推导： (/DX0/fJT  
("x!_H=H  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 j$F]5T  
wO?, <nqz  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [DH)4l*X  
5(z@p>AC  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) =X IGe9=;  
2)Tq:eG  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *JoxN   
4DDf@*|nK  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） A^> (Uy<  
2ixlB  
　　[1]  |{{W)$  
VD:R#*U3  
　　两角和公式 s 26AY  
y$&z6+CI  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB `0eorId;t  
n2nQ|Pje.  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  5|syZal  
N7V|sr.k  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB s3Zr YA$  
[l/l){yeW|  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ,uA3Oa y(  
14Z4QS9(  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I+].c^]  
lwZ&'q/Lt  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) (j=no D #  
Bd~{7vR7  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  /7i>7@  
hY%Y>:=+uz  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) <0 <5'>  
ivQ9?@#  
倍角公式 0\oK=rab  
IG ~J\b,ND  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;,F  
<f3h`jpw  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ]A*a &$+  
RU % S  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 6bDe;|Hq#  
$GDqil{n=  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） O***KtGV  
b=?022^  
三倍角公式 ,V8taUf1'  
R^}r|db>0  
　　 [ gCX2  
N(@'ok  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }alv:T[  
X- b8 x  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S\W#tuK  
>|@oU5>i4L  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 'zthr#/  
xJK;Y619  
三倍角公式推导 JsQ2s93dT  
Gx(Qj  
　　sin3a wq!>fn)p  
!c&Dx  
　　=sin(2a+a) 6bNBMY,  
hmFE7/;d'  
　　=sin2acosa+cos2asina :Dj7vrY#Hl  
Pb[_!IT  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Cz,`wW[  
sbryD-yBtz  
　　=3sina-4sin³a KEl8"K  
NZv;W'1  
　　cos3a gQ/<mQ  
99A)''y  
　　=cos(2a+a) | 1Fljvi  
Zl[1-Bx  
　　=cos2acosa-sin2asina X`2Kl  
a26lyhy&f  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa K;Xr2@X  
)V~'wiF  
　　=4cos³a-3cosa uVLvpYbr  
5V&`l@F  
　　sin3a=3sina-4sin³a nNbn`lx  
l#&P m-u  
　　=4sina(3/4-sin²a) Y~k4yE0f  
J&?cI/ Sx  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 7+ OrT  
PTwb'rr  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) {ULud1kl  
TX1bL+v~l3  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ; @;H5v  
4ehR )2Y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [>+gkL W  
x,@ dCMj;a  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) *KD2i;  
8OZPK\!'  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _x. $_5  
_;Lg]q6ut  
　　=4cosa(cos²a-3/4) TSKQ6oDr  
. \\Ov7F  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] r?Ln&'.i  
QhWy<A1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) A$I&`|,dZ  
0cs}K9XC*  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) R_OHU@M  
^5`f2[5 o  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ,&L1>g/  
={`d9S+"  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) F(1[(t<6  
pyg @7'i  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] briC>,Ze  
.LF,wf#g  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 5ojWu<Km1  
5LG~lV  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) wpWaB!V  
B3+=%w5  
　　上述两式相比可得 's#pAX9i6  
"`)DI]g3  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) dc1%e] $  
.E "nC?l  
半角公式 u&G;x  
NKg v2$  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); E`| 5:p  
VPS1Qj  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. LR/^H i1  
o+m'j-0gO  
和差化积 /F e&<q;e  
CpysA  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] En0KGQ  
h=%$dUTj>  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R=s]pZ9@  
H}u9EC  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a!MI)ZNJ  
mC `k(z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~[ScXl  
*\_llAk,.:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U<;{U;?D  
h8%?0T?%^  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~3I14d4  
%f{1N{ZI  
积化和差 Qb`Y76CA  
T~Q:d{cb  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] DB@>#u>  
vW#K6mR|(  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ZP' Npb  
&\h6<\H8Ef  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 3U&cex`i  
Fwz )+Z6  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] "C"m*0kr  
879=b /z  
诱导公式 O89 "LmT  
Mh|Wnx  
　　sin(-α) = -sinα J?EwKv  
"@t"'='  
　　cos(-α) = cosα _1*$^Vck  
!,W6Oi\;  
　　sin(π/2-α) = cosα <yDT#FYP|1  
4GSI%  
　　cos(π/2-α) = sinα Q|t`7lM  
=hwv[;_  
　　sin(π/2+α) = cosα ]4fX} W3  
^EZ14)CM-  
　　cos(π/2+α) = -sinα F&'DhIOw?z  
B zF$o8[Z  
　　sin(π-α) = sinα 4w$8s, j  
{ QCW}1  
　　cos(π-α) = -cosα 1 \#`VwH  
 Yz V$r  
　　sin(π+α) = -sinα 2!? :"-.V<  
rhh]q  
　　cos(π+α) = -cosα v944A*\  
)|{gA~c  
　　tanA= sinA/cosA JD-f{?WUP  
>DL /?Q-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 2qN?wPz  
Luy/I"  
　　tan（π/2－α）＝cotα q&9f@vw_  
O+@O ,3  
　　tan（π－α）＝－tanα v[P3$XrT@  
^,eX6T  
　　tan（π＋α）＝tanα (&"/ Blu{  
0KPPZ}Gj8  
万能公式 .Z:MhQ+  
`GdYm;q)6  
　　 ;= 'M  
*Q `Jb yn{  
其它公式 9_!W'%t7  
nO2[8@yt  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 =UA\nn8=h  
x<|:,<sS[  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )go})"  
t\4!o'   
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 g\Zi3'6O  
>e{ 4B_  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 l0]` 2Ek  
(B0;@I*dG  
　　对于任意非直角三角形,总有 D[8XY n<7  
h;"`,[7  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v Z:KU#s  
`S\1TpQQ  
　　证: ?:}6]_3%  
$1\WyyfzS  
　　A+B=π-C `4^v<3w  
i==l_r  
　　tan(A+B)=tan(π-C) *@ _> .)  
vdGO4 V  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) oUUv6g\R  
*W2XM`D]  
　　整理可得 Ue0fEM7J<  
!7!FwoC&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gY0B:w  
!S97JM  
　　得证 lXp>$$@v  
DAZ /t  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 /i`y5_a  
.j#QK@  
其他非重点三角函数 v$>x1  
0,@j`Bf  
　　csc(a) = 1/sin(a) .QW#(A  
N;D[o!L8  
　　sec(a) = 1/cos(a) h%oa= R_/q  
3u?sU2E  
　　 S[eiEtRl  
oGG6^v/0  
双曲函数 f/$Q_~:-v  
0l \Et  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 nKQ~7T  
%zlk 2J{  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 }tfpJ%D*q  
);V5t DF.  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) :z7O>u  
yFv  r  
　　公式一： d$Y TW}w  
/J/8Mu1  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 6!2"QC<!  
M[0"BL$  
　　sin（2kπ＋α）= sinα E|w_N7iA  
"NmiNu<  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ZVR!W`b9  
imo*N9  
　　tan（kπ＋α）= tanα +d?aW_%wmi  
Y_4mn}w!"  
　　cot（kπ＋α）= cotα ~`,SQs!HIm  
 }>b:)F  
　　公式二： ^!hxT&  
?] WbfyQ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Ktw b.bkG  
o\qiHIkZ;h  
　　sin（π＋α）= -sinα Sf>mv]/U  
^qy4q8/1l  
　　cos（π＋α）= -cosα In)ed#tA  
G<i)J.)Ur  
　　tan（π＋α）= tanα <(]_.7}  
%."6y/I f  
　　cot（π＋α）= cotα BJ /)  *3  
mfED<  
　　公式三： ]y,n&G(  
pY|_>fv q  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： \F25j5k  
0"`$`Xl,f  
　　sin（-α）= -sinα laMm5i  
?5^ Ryw  
　　cos（-α）= cosα 3`1%&[o0  
$U=th6E5.:  
　　tan（-α）= -tanα Bc*Vw4{j  
u2|D<M|$  
　　cot（-α）= -cotα ?=;l9   
|Wi$B?\B  
　　公式四： l8P@hV;)  
lCT|\<q)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 8JK| z  
f<{R, 1?  
　　sin（π-α）= sinα U0Q* 5v  
cmSs%w1j  
　　cos（π-α）= -cosα +L.  
~NbB(RT  
　　tan（π-α）= -tanα @L3w_N?  
Roa=Ws0Qv  
　　cot（π-α）= -cotα )+p3 _a {  
8?lb!w,h&  
　　公式五： R(~0f-  
*Ub 44b$  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  Z )c  
zO}FW0f+  
　　sin（2π-α）= -sinα =Zvjv?.Sh  
.D.W^&M  
　　cos（2π-α）= cosα %$~ds#x0  
U5]`0 $@  
　　tan（2π-α）= -tanα y tYSu3 *  
JX=[hQEF  
　　cot（2π-α）= -cotα Y^'?$|Be0  
=Y4Ef%XvEq  
　　公式六： Q%P v4  
yFRkta=u  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： VLCSn7l  
n'BN!q )>  
　　sin（π/2+α）= cosα  >D rz6  
<RH$Y "]  
　　cos（π/2+α）= -sinα gyojfd! Z  
\ /n,8  
　　tan（π/2+α）= -cotα iU:2:50  
iC #j  
　　cot（π/2+α）= -tanα zVH8TG \0  
k(?<'3D  
　　sin（π/2-α）= cosα /+it$>-  
@j4.rG.K  
　　cos（π/2-α）= sinα T0<.a7Rt  
R \cs F  
　　tan（π/2-α）= cotα f7z Y!'  
 uI9D6  
　　cot（π/2-α）= tanα nnwL}+v'  
2|]x.D+uN  
　　sin（3π/2+α）= -cosα aGXC$%  
#O|f.Y  
　　cos（3π/2+α）= sinα UY8Se:8/  
=1DW+m]cew  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]bkWh<k$  
@5/oHyl  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ]Wp6QO+  
%S,>8!9%  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 0A% J)S}J  
0Qh}J'= x  
　　cos（3π/2-α）= -sinα {e0| I  
Z ]X<-L  
　　tan（3π/2-α）= cotα o#JA[v@@f  
+X8 zj*F  
　　cot（3π/2-α）= tanα r'd#[g|  
mRJHCJk%  
　　(以上k∈Z) `F>Au_  
iyv"g6  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Cla{Ax#4y  
KZ}l,VB  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = V"WaIB*c_  
NMyS9Ot  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } = j9 1|(Y  
wx.M>?a?H  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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