日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 AzqZ&se6R  
A vg(D  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. aV}BE~F  
vbjeq\  
　　1、三角函数本质： u$ ,fuD&1  
/OP6Je  
　　三角函数的本质来源于定义 E*9 .QI  
 8n@&b&  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 sHB4Yr7&  
CPdLe(=G  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 nE.V2 p@[  
2N_;E9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： t8iyfk  
a4_#WA+0/s  
　　推导： | *hhm  
?"Gqa*f-3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 GIQkQKJQcu  
RZ PK 2&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #hm$&%S03  
Wi&"cG5  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -#o]<Zv>~5  
~/8vH]cP[c  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 InIl21T_!  
+_V]d1l  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） DXenAs{u  
&j=g9yO  
　　[1] V^3M! 5x  
(cXd^'TlU  
　　两角和公式 m]yZ ;S  
xJbf| ';  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB hnpwu;Zl  
nLi4BbbWxW  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  uw.&'PRh  
*qrGIVD  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB /4 O1n*`ET  
;D!COud\  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 6PA3C7nn  
S JH-@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) t{:fveg  
p1n; I7  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) G d{ bSD  
} "E_&83"  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  qhcF)-%  
^ |.~26  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) oI[4+&:  
uT% PLac  
倍角公式 #oRq'-  
EI>[E#  
　　Sin2A=2SinA•CosA *'F;?8Mz  
27B\>%O  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,W1K&v_  
%/!J0Pr  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） q;:G \*7  
D:O[DUrEo  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Z^7_ NV  
$AxxRqE  
三倍角公式 WA,Y@A >  
{G h91Kl  
　　 qMDZ*w  
"RdcM`$  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3gm$0;p  
6/m"f  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) V628]5*-\  
"E F5c  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) O/w&(WM  
yG3E,6I<Z/  
三倍角公式推导 ${0gy!  
:o(-,H L  
　　sin3a S6^VD&mzt  
*F9 f/\  
　　=sin(2a+a) ufL%^I  
0,33 t{m  
　　=sin2acosa+cos2asina 8#SRjl6Hi  
Y6t*I`o  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Z S4I  
hlu2/9194  
　　=3sina-4sin³a #C^qye@C  
:M/R%l^  
　　cos3a jeVLF  
kX3q4nS}#  
　　=cos(2a+a) 3)$oY3~"z  
;aGWEZ]JyA  
　　=cos2acosa-sin2asina ~ s\@Y  
cKqjp! N  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa kf@>S>2@  
;OY5W}p/  
　　=4cos³a-3cosa oDSV&L`a}  
I= ucXc1[  
　　sin3a=3sina-4sin³a z+`?% a!SQ  
9G57|\  
　　=4sina(3/4-sin²a) ](69,2  
K?tskHE4  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] [rO;)Q/;  
k:Rm]xi  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Xk+$~  
h+84IB=b+  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) SQ.0}kcN  
&myb=MM  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] H9cxoO*7  
RBNns  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) zxZMnuD-  
(/OX4f  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Wbn#W:$D  
W5\nAjXse  
　　=4cosa(cos²a-3/4) By43B7h1  
3r^Oz#W7  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] u9\\bko  
lWK1>DS)f  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) adzsc $W%  
z=lE~VH*2{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Y3E6PQ  
3 T4:e  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} { h'vr ;  
Rck1<;z{4  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Whpzw^(  
X~vxUP NSu  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] . l@P6q|  
$r \ :[;  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] w4c v4^  
/oZ8eWGN  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9o%[NND  
9AGB4MvhK  
　　上述两式相比可得 /K&i']N  
II({2  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) w0F85/W  
3l G.?Mm  
半角公式 tB L-"gt[  
j? #L( G  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Jn't@n(  
rEVns[  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "_! -e[8<  
N+ic,'  
和差化积 R`J#7xJO3  
>]Yr %  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;}`9z9@lY  
6:?G'  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *hwJQxA)  
4 @M{nE  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] qrUO |%  
_Wus(Y>  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] r~#:'uzwWC  
Gj4A2p "  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) l~yDSFYj  
yj' z0!  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Z/-%VCbLZ  
l!2ae{@  
积化和差 *$y6mG  
SOS-7U  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] fEHBmrUa  
aru"ij5F  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 2&+5mRl  
{`d&-  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 4pcB/S/f  
.0kT:gD,Vc  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] *QG_D.l>A  
.H~R~cag  
诱导公式 R\&a[R  
/^kjcTU  
　　sin(-α) = -sinα e{7xGI7fn  
90Laxa  
　　cos(-α) = cosα ;*W qaL6l  
].L(qZ  
　　sin(π/2-α) = cosα }kO _S  
])7| :-  
　　cos(π/2-α) = sinα >0=tC<j  
*x&9~%!L  
　　sin(π/2+α) = cosα +Sf]eJ3  
WhIZk95z  
　　cos(π/2+α) = -sinα yFH#F(]  
/,=  
　　sin(π-α) = sinα Y8nv;(x  
J;s lF^  
　　cos(π-α) = -cosα 9:M+CK  
NRI~]d'}i6  
　　sin(π+α) = -sinα nD'< xv  
H?4;j0xh  
　　cos(π+α) = -cosα 7)oW |?e  
g#iuV\S|m  
　　tanA= sinA/cosA  @6|  
-06W,[cN  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα :(<c;,4  
D[v$siX  
　　tan（π/2－α）＝cotα Gkukbf<Z  
rR L Xz}  
　　tan（π－α）＝－tanα @Pf*yf G  
Y<Y9pOI  
　　tan（π＋α）＝tanα FxSXxq ,  
v!}m0~  
万能公式 sZk6C*l  
!RN&7j?  
　　 `7_93^r  
?jgx~({Q  
其它公式 Sb&oMdl  
J:5^a)<C  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 '%d=D]7  
Z=6s}oK#  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 qn ) A|*Q  
- #JDg i-R  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $o `X"9J  
0ptw5?!.+  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 @'v<io=v  
guqs@^lv  
　　对于任意非直角三角形,总有 B69:72O  
{TT(|9lt$y  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P9b$.\/)*  
>1&VNS   
　　证: J #kE@&}8  
F;8k*BXt  
　　A+B=π-C u`AR\* F9O  
aBOD;i  
　　tan(A+B)=tan(π-C) B E9Oq/!  
="!~1  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) zOF&qv'Qm~  
qBZ"J,H  
　　整理可得 8Q$]J3ItY  
8jyXY_7CB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC l;fPjo#`  
: \f>crl  
　　得证 E#>;>(kq  
%|^l~[T</  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 )_RJX3]m<  
Dca\f/b;l  
其他非重点三角函数 ''net|w]X  
qlPv)}:|  
　　csc(a) = 1/sin(a) p |RMJ  
WJ"j=$  
　　sec(a) = 1/cos(a) B|9,hZZ5  
V d@jKEJnM  
　　 8"jm~ZtOq  
pKbp#'  
双曲函数 j-#lnSJY  
Pn /o  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 D1[qxK  
lY* _Iva  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 e)P_|*!Fp  
mijN{;,  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) cn89M= p  
TmaU5Ljf  
　　公式一： [(WpRM3  
Kl?gq@e"s  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： @ v;'Yf.0  
'ifsH  
　　sin（2kπ＋α）= sinα GRJ;&6:  
auyWE$  
　　cos（2kπ＋α）= cosα l>1 PL<  
[w)l:K~4K  
　　tan（kπ＋α）= tanα W]$}RR  
F0s.[ )y  
　　cot（kπ＋α）= cotα p(b2*MH t  
VQ{C:>[}Z  
　　公式二： HsGE]#  
~]_aHF "  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 1 1O4"B !  
r_SYY7Lwu;  
　　sin（π＋α）= -sinα 3/nZ~s-V`U  
>M #Kh Ms  
　　cos（π＋α）= -cosα >!<i^Z6[z  
sbP_Y{  
　　tan（π＋α）= tanα gGN;*![s  
/[aV}Cz "  
　　cot（π＋α）= cotα KAjV5#|  
FE i5K  
　　公式三： @Pt>"0+Hk  
5M%YSVJn  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?mx>_Q,fg  
iQYMW8  
　　sin（-α）= -sinα /w .YjY$  
!Vgld@%.  
　　cos（-α）= cosα e4>mG*fd  
HzscO  
　　tan（-α）= -tanα l9%?uFfGd  
nocfFNi  
　　cot（-α）= -cotα 77|wy[Ip  
@G]~vS<{-  
　　公式四： OH u4ZJ  
0E]cX0Mn  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： !@$QSu}s  
V U;l[;&  
　　sin（π-α）= sinα msQ)'&x)  
g.m aH_-~  
　　cos（π-α）= -cosα 4NN3DAZ %  
2/1UU2j#  
　　tan（π-α）= -tanα 3R?5{#v  
r}| _'=l)T  
　　cot（π-α）= -cotα F"H:McC  
A[Z,y\  
　　公式五： 6-w<0HLl  
5gc;ARu(  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ,F7 { 6x  
4 y;{%VA*  
　　sin（2π-α）= -sinα \@,}+9z  
'" >2R  
　　cos（2π-α）= cosα <7"bLOcV!  
Hw %`%z5  
　　tan（2π-α）= -tanα n[m0EJ1C  
|&By>S9N  
　　cot（2π-α）= -cotα }rK5 +.  
3A6Ly4O'1  
　　公式六： bKpKrzbDoA  
uM.:,jeU  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： v@C/j`1  
@8N8'2YLO  
　　sin（π/2+α）= cosα e<" Y0 T  
W D\< HB  
　　cos（π/2+α）= -sinα ACe>fTfh  
I7~#3bi  
　　tan（π/2+α）= -cotα euBAB5Xw  
%KQ~{LQ:  
　　cot（π/2+α）= -tanα =L(e  
%W1h) ,(  
　　sin（π/2-α）= cosα h44HI,/  
7y?[~'K,  
　　cos（π/2-α）= sinα W RUk</M  
Fu6F3j$QT  
　　tan（π/2-α）= cotα  81Z5p4n  
luC=5"1avP  
　　cot（π/2-α）= tanα c_r9"*u3  
,()i^_qv  
　　sin（3π/2+α）= -cosα y,|<p  
x'7DH>m"  
　　cos（3π/2+α）= sinα @v\r;Z^b  
f *`BC`^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα yZy2  no  
c&O[O,s;  
　　cot（3π/2+α）= -tanα oPv0p)8  
4 $GR  
　　sin（3π/2-α）= -cosα E>F]t"MY  
@(^ *+lUC  
　　cos（3π/2-α）= -sinα l9qhao>[x  
4l=Y(z(  
　　tan（3π/2-α）= cotα p2- ]ef'  
Y~*+|[D  
　　cot（3π/2-α）= tanα D/MRi;Lp  
r@Mt[2/T.  
　　(以上k∈Z) =*epXzZw  
I+k j# h7  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 | o`L36b  
Qn MMqU  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = RVLE6Co  
=K-|[_ T  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } :mdLrCCYd  
6tEC;]A^  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15571) |  收藏