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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ~",77&Yv[  
{} T1uT[  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. O!-/vN  
a9IH>0%  
　　1、三角函数本质： gFqZ<  
Satb!vkO  
　　三角函数的本质来源于定义 9mZ$z3BB  
ekJ,[B4  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 8[! l]  
oD<8=bOG  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 h&Yg.BS ?  
1[.4%> wy  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 9fg;pp8yR  
rT#;(Xh*  
　　推导： Y8f]al  
V[gcr(K3T  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 EomF_)/7  
P;A? .=5G8  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) NKiaQEuenc  
dlfzfrM"  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ju2op"X_]  
*B2eQxq8R  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ov8FUyI7"P  
n/#TZk@  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） .t"Wt&2(  
Q@*4iO.Kr  
　　[1] iE|)]c#  
T>mNs|"  
　　两角和公式 oa xp6  
/?3e{9iv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Ik:LLyHD  
^1sD,m^  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {!y4bI.D8  
gd(1nmUP  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 9`4DWt!I6  
~Z2q%\  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Ny9Si}  
,s'PNkV-  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) eCN );  
U;{1>U  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )m KMsfl  
PhF}MN;  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  >?3AjFE!z  
"g8$8gu  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) _RCNF=  
{^u YS@>Y  
倍角公式 E Ayz19 i  
{4cJ 0-  
　　Sin2A=2SinA•CosA =[sYnfo  
][sY]rP  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 _C,N M#Jk  
l]8Xzw22  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） {V8[4-5v  
ylpxWK N  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） oAp$~N%m  
 "{MkTy  
三倍角公式 268^ ae,  
=F[tAj  
　　 \s;  
xJyJ V(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) nS{ cK<  
wjFCS}$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3~RE1  
/e*fckS1 i  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) $EXpas5mS  
Q~,s}e:>  
三倍角公式推导 C SDLJ \  
 <  
　　sin3a j T/; q$)  
-6>>3q9[e0  
　　=sin(2a+a) 1uAQwQP  
PekhJ%z~'g  
　　=sin2acosa+cos2asina qo-b[2byp  
($-ETSbM}m  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina m3ZSMGABz  
+s3v~KR^  
　　=3sina-4sin³a p+ gEMc@  
Px}j }h-  
　　cos3a Bolp.ex3  
Bm;/ /b1  
　　=cos(2a+a) p]*3zsu|  
/ P+i iQ  
　　=cos2acosa-sin2asina }?_$V  
]6Mm-H{_V  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa } $]g9^t  
q%'9Y ;  
　　=4cos³a-3cosa +fq'./R.  
;G0p H  
　　sin3a=3sina-4sin³a UCdJ2TbU  
qOb#saP  
　　=4sina(3/4-sin²a) ljBC9=&  
9{aqkQ_$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] T5-:$N9  
h^7P7? JL  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) tzlD&3@8  
pkYsE=~AP  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 4Rc{XsJL  
!NbX l<>u  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] +uv4MEi'  
41 TAhs  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Ogq4"\B  
,q;mLSHc  
　　cos3a=4cos³a-3cosa nE1_S6)$E<  
N MAaBRB  
　　=4cosa(cos²a-3/4) CSjZ9!4X  
a:bh :  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] M x_\v_]0#  
XQ,//y-  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) -y<=ylqg  
&03Nt{!  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) x` 2 5W  
YrJ'*~BH!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <BP: Z\jg  
5rSyO)e  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) x'H$nlf)  
si|=F 8{  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] T~B%|GDL  
AJKKqCDq  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] fz1#GPjr  
iJNb1   
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) T&\8M8uO?b  
o~k}b)o`  
　　上述两式相比可得 o5b-[:*0  
3A,W\XKf<  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,bDlK+*  
FGd.YIQBV  
半角公式 Ny7fC_`C  
K0^<EX/JT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); p#`s7^GzH  
E(Mz?eqec&  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. d@3WS]  
P( JAr-5<  
和差化积 K:F$5  
wa^K| s>  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] pNFl$*T~  
M=tcj*j  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Zwy`d83R  
"zy>4X"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] GY1Ki5o_'  
;Q+2DF5c  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] y%;q\C*=gG  
$; Q-juHW/  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) _K\P5 ;o  
Qc:G]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lVt> tFy  
|oAUxQn  
积化和差 Q.uiT Rbp&  
.8GRt|f;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] hXDw2E?K=  
t{w#Q8Cm?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] P_i?#<  
@ yT1 b,  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <4AmkSS2  
85y46aGI  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] +;6c:-i_f  
d9L/kWz @5  
诱导公式 WHF;I]4^  
zT\fOymK  
　　sin(-α) = -sinα +-^Y~MyqA  
Y)S7?%U/_\  
　　cos(-α) = cosα +h)8f"]k%  
ID7:'^S  
　　sin(π/2-α) = cosα 'rYz1cXj$  
@THHo (D  
　　cos(π/2-α) = sinα "J.`@"  
2t9_$X j  
　　sin(π/2+α) = cosα @\F"   
4 "K#mQ0  
　　cos(π/2+α) = -sinα >9RQU %U  
+xk 7X1:  
　　sin(π-α) = sinα cWHs3=68  
d.TSdDa/  
　　cos(π-α) = -cosα i>n6Rj  
P y40=GD  
　　sin(π+α) = -sinα }6Dx[?hi  
M=*}/2jY  
　　cos(π+α) = -cosα _|a2RSO1  
8-Sen0?p  
　　tanA= sinA/cosA B>Zf8\  
6}U}f C  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα KIH&^bc];  
Ls@ m|@ ,  
　　tan（π/2－α）＝cotα t4j^Q  
KKcd'O-  
　　tan（π－α）＝－tanα  |`=|C6  
gshf068z  
　　tan（π＋α）＝tanα &#U5o#  
jZ\O~<ykC  
万能公式 iJ)0 5(  
:YrYP6UY  
　　 GmS\>5h9b  
%Q`R -Vvn  
其它公式 On#Xs)8  
52Pv>RK Fg  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 8]q?k>9  
@El;,fB  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 qv>%\\  
8OA[,FJn  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 2WAmPBJ~  
0<D>Z({  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {0@:L99(  
v&@tS<  
　　对于任意非直角三角形,总有 5XM&6=  
;bIx-XSn  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ujB5@KM(  
\^.v)| |  
　　证: 4U~{Ccr<Rq  
WlC\,K]  
　　A+B=π-C `8M7SZV  
Bs wPMW]K  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ;kx[Ww5Hc  
@q:@ eZY  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) SQkpb/P  
8Yo`:I^w  
　　整理可得 >wp>a$  
Y>eAE~0G  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }/H.v\@<`X  
X6zr3Ff  
　　得证 }q/~5C b 8  
'x\m?('  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 sy \t6 T5  
wee^uz  
其他非重点三角函数 'i!TO',3p  
S?nG_&</  
　　csc(a) = 1/sin(a) [1_:`qT  
uVVs :  
　　sec(a) = 1/cos(a) >jH+v i{  
W|w3I$U  
　　 /k{ic i  
k'4bCr g  
双曲函数 4.+|[o-  
Yx>:]^,l  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ZR JNj &Q  
;z;0#kL  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {!WDp7  
|ftf&kZ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) {)6L fI  
T|eF3/y  
　　公式一： Rl SqMO2c  
)zb/zxb  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： x^e.*y`  
0:j W,d~  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]).4-?Y#  
ikJa~ht$'  
　　cos（2kπ＋α）= cosα {R4zf{~u  
Uj VC'  
　　tan（kπ＋α）= tanα hHq[Z}f  
M`$J_dJ+  
　　cot（kπ＋α）= cotα "ev0= .  
3CAdf+NI;  
　　公式二： -GNLe-~^g  
ia8!X| M  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： L+ GJs  
d@PxH{?=;  
　　sin（π＋α）= -sinα a6hu~It):<  
:JtGmH  
　　cos（π＋α）= -cosα B)b</-N  
7@)9QvxY  
　　tan（π＋α）= tanα yL 4&A*  
q%Um$0eBc  
　　cot（π＋α）= cotα IB8&2n]  
I;!#uqm Z  
　　公式三： _P(@"* 0  
3Sw~01  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @@I;>Rn<  
A/[w2z  
　　sin（-α）= -sinα *V|_H$  
pf>:ZGY  
　　cos（-α）= cosα ={gz]_ok  
SW.}S76n  
　　tan（-α）= -tanα * }Sb$R!A  
jMK=&ep  
　　cot（-α）= -cotα %9OnvOx  
]'hEMjNew  
　　公式四： 8 cvy}"V #  
E)R>-cVBY  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： p/Eic  
w]I-C  
　　sin（π-α）= sinα {~fdD  
R1T>`:1.l  
　　cos（π-α）= -cosα 7$VSBFZ  
LWD8;Mm]  
　　tan（π-α）= -tanα x,)761+  
*Q$^5kB~{  
　　cot（π-α）= -cotα dmys=U1  
G{7cK5(*  
　　公式五： W:{"2P  
.lbPEax4.  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： * i'FN }9  
O{98[)  
　　sin（2π-α）= -sinα lW;Vi.$/  
qT$kNc  
　　cos（2π-α）= cosα pV3,lU?5  
97ZhJA[0]  
　　tan（2π-α）= -tanα y#GwK }6<"  
ckND<*[  
　　cot（2π-α）= -cotα P{$`%W  
Qv0M|Z 8r  
　　公式六： U< fVK@j  
Cyq 1@W(B  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： mo$/b/1:fS  
r&~ZO.T++  
　　sin（π/2+α）= cosα YepX\ (R  
0-]B $^  
　　cos（π/2+α）= -sinα tMX\G 1z  
[Y$>g'1  
　　tan（π/2+α）= -cotα Gx vpf"mg  
d'`w$jt@P  
　　cot（π/2+α）= -tanα 'hxqDn  
Ty}Un9  
　　sin（π/2-α）= cosα g$)6m&=)m  
;CJ<NU0  
　　cos（π/2-α）= sinα 0p_Bg:9A?  
t4XdX2WF<  
　　tan（π/2-α）= cotα 4/xmT(b%  
<S*S;8  
　　cot（π/2-α）= tanα 4xYN" cf&  
6@]}a783L  
　　sin（3π/2+α）= -cosα [q2N~5A  
Nv)PL' V  
　　cos（3π/2+α）= sinα ?q8*/5C;  
hh!,D 6/I  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  #JUw,E,  
/$ AR3d  
　　cot（3π/2+α）= -tanα jN `,*U  
C]$'c@i]S  
　　sin（3π/2-α）= -cosα L``M@T- \  
F ]L+ ?gqM  
　　cos（3π/2-α）= -sinα pTa*N6w  
>~} ,X  
　　tan（3π/2-α）= cotα Q7B& -a/B  
Xk-A?,  
　　cot（3π/2-α）= tanα L9uZU`>N8  
* H$VUh$  
　　(以上k∈Z) <N VX=O5  
=L|kgw?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ,xfO!mpO  
U}+4 +_Jl  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = m+(CauY  
lX'-KN"  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ]0Yu%tI0/  
.d={H%   
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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