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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ]n5RZ4on  
7INbyoq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. A0'>U6 t  
ffBo7rze#  
　　1、三角函数本质： F5w8_d  
| fI44=/  
　　三角函数的本质来源于定义 0I^,YE|  
Jwiy34e_i  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 xSekzO?  
[~`27jG  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 8 ]G{ij  
s(3Ig@1w5~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： -bw, /;V$  
&Zq"wp  
　　推导： W)OHg?R  
[NIBby%0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 I J(2}8  
}:fL:~_<0P  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) >u=/Wh; z  
zfaw(THF  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 9M`YFc /  
6c p,S6%  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 6(H{nX  
D_,ED~y  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） fFY o8|"  
H+diRkbq]  
　　[1] ryuFh@zmb  
tGB9k3  
　　两角和公式 5Ar=+^):  
]a`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ^>ZmoT u  
x{{F)-&!  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2bx%io  
,q_!2b%  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 8ZW B8p  
X.3NKIU  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 5Te=0+:  
C5qb'O-  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) dG`%&|<<  
U1*?@n6y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) x*MM=>7  
Z_b*I{sQx  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  v{^a:}a}  
Hd+V*%::m  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4)zh<R~I  
Vj,gS;}.  
倍角公式 W'i-h{ X  
KP005po  
　　Sin2A=2SinA•CosA PIC Y4*  
4+P{C>-  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Rp&8o9_)  
I&t {q3 ~  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） &oYowa/  
[R$w^vf  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） cz+OM<8x  
J5mWbtozl  
三倍角公式 K[j &sU  
Jd{l<ip  
　　 :r~ qMfy  
d\& 3(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) EXd$?rfc  
9 xP%+D  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) !WnNfFb2t  
-U!jR@ID  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /_O`m|8M  
(=Sz*aPQc  
三倍角公式推导 W=zJ)x5+e,  
$AU9N&dM_  
　　sin3a ;X/+:zTTJ  
onr8>/2v  
　　=sin(2a+a) fBOi9<"  
V:e[2*3 B  
　　=sin2acosa+cos2asina !;x~FXt  
Sgo{0 M'  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina -uf,+9,P  
?E+SI  
　　=3sina-4sin³a 9[ @)ggW<  
Awn%sur  
　　cos3a & $d  
[$v[knaH:!  
　　=cos(2a+a) V[/9+02Qx  
2=c[\@z  
　　=cos2acosa-sin2asina M4/jK L hJ  
+&^J1S&'h  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa :)'A ~R  
cU\%%cRC  
　　=4cos³a-3cosa )=w.Y'  
Og|.7*iK!  
　　sin3a=3sina-4sin³a O\rj\P4J  
K7}:l]-  
　　=4sina(3/4-sin²a) ZB/w#q  
q\dxApR  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Z `UY>bh  
4zX52&LBc  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) " Y0=kI3  
nA*3K"qN  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $A+{& 5  
*)gv9d<  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] (-|+4_=  
M5,{MfX"x  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 0 U DNF}*~  
"T 8m?5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa l*xpyU<  
wrW`?{ .  
　　=4cosa(cos²a-3/4) tcb<y#}w  
fOK1l<0^9  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] UM}%4!j  
zmVcF`q  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Htk6 >FD\  
1FW-X>.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) $n} 3VFN  
7^(@6W  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 59qNQL7G  
CK(v\>\;  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qz@`)YCb  
edIkbm5p~  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 0s@JR?~4  
#o^\i+  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] `0H5NTWK[  
m<e"UT  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) NzsyHt!  
U;?P+}\Ob  
　　上述两式相比可得 7mQpRVoc  
@%L6xxO  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ;2{:4bfj=  
}+W jID\  
半角公式 jM - K"I  
Nc8{h: z  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); k["w1>  
~!zcQ5o%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. w6 %^^:\k  
<j*4n9Z  
和差化积 J>^[x ;E  
UwToUb*  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7&w:PM&E+  
q7D}zA<r[  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ocz%65  
"4O-jH  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q]ooc3-  
P)&* _ 0Q  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] u#0l[,k`+<  
3SDdeMD#  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) RS /D,%  
<r(zB8 -nh  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5&>-Js0 |  
aN,&2c|I7  
积化和差 S~BGt}"BGF  
 :Dn$"'  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Q~A [Yr6  
+>ArbH^r  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !ZU+E>#U'  
D 1OBU#Tj&  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ii<+WK  
lk,/dM  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Lc\ C <F*  
1^XH <l  
诱导公式 |'7Ysrs:h  
_vw-n|Y  
　　sin(-α) = -sinα 6j-jYs}T-  
q?=?< ekB  
　　cos(-α) = cosα 8-5_dN{  
gZkIAe  
　　sin(π/2-α) = cosα YejB2~  
"C :2Y[f.  
　　cos(π/2-α) = sinα @A;)ePK  
y{/'}o6P  
　　sin(π/2+α) = cosα u7*7lp  
hWF E0F  
　　cos(π/2+α) = -sinα rT|8-? 'X  
Ht]}_  
　　sin(π-α) = sinα 'PB<)Tkk*  
B 9'k0'#  
　　cos(π-α) = -cosα x8NT&Q$P  
H]eqN`yp  
　　sin(π+α) = -sinα 5WADg 7'  
n-dz2Z  
　　cos(π+α) = -cosα Rr@g~  
h LTW xW  
　　tanA= sinA/cosA 'wS]+d|  
{p_HCpX  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα j8sgkb3  
%<Y.G`  
　　tan（π/2－α）＝cotα p(d6{>  
nN.![q7P  
　　tan（π－α）＝－tanα 1\ }QKo7}J  
8L~D`5 `41  
　　tan（π＋α）＝tanα v7pbmlEp  
&:C|ZUbT  
万能公式 >fsxjY.  
mZ]@ Ei<]  
　　 L<@*eb@0u  
~e P52/3  
其它公式 !Kj.~\>6  
pB^f%[AN  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (eS\<M3?X  
D#kI)`l  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 !>+N( 67<  
IXQx#<  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 +;{qVgG<  
4^]l B4`o  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 /*;[`OIev  
"1XOvz  
　　对于任意非直角三角形,总有 8`A&zO&6Q  
v@JrL{rv`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KN~]=xq  
|p3G@1'Z  
　　证: xUf,~`O  
2A]iTUDl~  
　　A+B=π-C I33H[jj  
X[%Cpe?J  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 7 9UbHZ=t!  
`m*> [_=E  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) d/LEZ[Y'  
CQ0"j zyQQ  
　　整理可得 bx`E{Om|io  
HOxG4A[-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jurzZ0  
cI0PS4ul  
　　得证 ,=j/-Bv'M  
iCjyGxXs  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7m L $ :  
L)65a\Tm  
其他非重点三角函数 %Gqu{!|c+6  
qW2&'  
　　csc(a) = 1/sin(a) "` 4u  
T: Z  
　　sec(a) = 1/cos(a) (FdZfNCU-  
;690 OoI  
　　 M3z'P[&"  
2@oaf-  
双曲函数 -ER]gK7;+  
'#xFXl'!  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 fXhFv;||  
|eM0i/D;"  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 U/3/mvJw  
gDrw*Fy  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /DsV_]v0  
Q(Jbi!  
　　公式一： X_xs?Vk_l  
S<c*Zx:r  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： &-@HK9oq  
W5Y7WJQ8  
　　sin（2kπ＋α）= sinα d^\uYW4XF  
*L!m^ZE}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +<h2b?<  
6O)cN_  
　　tan（kπ＋α）= tanα X$RGg1j  
2UNyK<0@  
　　cot（kπ＋α）= cotα W]*  
;/`  
　　公式二： +cpuZ#8rC  
xP|"[1RT:R  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： {D^~{I0 $"  
 !yAl&JwE  
　　sin（π＋α）= -sinα >tu+&Qr  
Ir):`aY  
　　cos（π＋α）= -cosα AXk~>E@^T  
%';$0RHri  
　　tan（π＋α）= tanα zvP.p_x  
jy^RG4%%  
　　cot（π＋α）= cotα hK(7,i]  
g3Q~ NMz"  
　　公式三： !0 )c^V 9Q  
ERS[f({/  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 6`3,8,jzY  
|kbWJ^  
　　sin（-α）= -sinα -pJ"z  
o77 3{@x9o  
　　cos（-α）= cosα iNry2Y$Q'  
`i9j=  
　　tan（-α）= -tanα ='%PiDa]  
l~8F`3$  
　　cot（-α）= -cotα pUa5q~/!>h  
N)jN"f1,  
　　公式四： l:U-C+C  
| =t[@Ek\  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sR}W~X  
Ptc@RIx|  
　　sin（π-α）= sinα S[uN#WC  
:E.#)d4  
　　cos（π-α）= -cosα _[I#=]R  
C3%az)CW  
　　tan（π-α）= -tanα X 8Z;I6d  
g8:YMR&nO`  
　　cot（π-α）= -cotα _zgOkm81L  
k(<DX@w1  
　　公式五： 5j#fua  
@)uMyZBjp  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： &FMQFc  
[0n'6_) d  
　　sin（2π-α）= -sinα ,BK A]B:  
.}2{Sr(  
　　cos（2π-α）= cosα r3qyI}P6)  
4'oX5[L\&d  
　　tan（2π-α）= -tanα `r#_$w~Hy  
Ku<mI yV  
　　cot（2π-α）= -cotα 1/H/oW)  
dNITt cP  
　　公式六： bV?`G-uD+r  
hM;^Noa  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Ii$9)Z [  
|=<'r*  
　　sin（π/2+α）= cosα io%8o#5  
T7>~%O  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;TmjC+)  
}3h(ijV  
　　tan（π/2+α）= -cotα EP5Ckb73  
.C_$$ ][.  
　　cot（π/2+α）= -tanα .Jue`  
?*hUq*C!?  
　　sin（π/2-α）= cosα :dq[EV&  
yQ9T&ch  
　　cos（π/2-α）= sinα m%<ZN7x  
i 01:F-r{  
　　tan（π/2-α）= cotα To:RMTPc  
o4]xdjlof  
　　cot（π/2-α）= tanα 30q)16  
X=8fxk.  
　　sin（3π/2+α）= -cosα $|n>?;gAj  
$S#E?3  
　　cos（3π/2+α）= sinα e#>!tg?  
0zBK^G|/  
　　tan（3π/2+α）= -cotα !5 O;c+  
/R,%^51  
　　cot（3π/2+α）= -tanα +]"Fnw?  
iRN[7`lXF  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ;fso<+Cc  
*p9%s-#!P  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $ykX ;  
)LJ%hni q  
　　tan（3π/2-α）= cotα C.IX%Ml"[  
/sd;I#]i2  
　　cot（3π/2-α）= tanα za(zA.e  
&c]"c$ t\  
　　(以上k∈Z) ;N_nOx  
eE\>EGUhB  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 <sv/  
: G #/  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Fv(#gPvg  
@ 9z~7Ri  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } (fEQ!iXBW  
zM=>+}&-k  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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