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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 H.SazqD&  
[d?{+U8$  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. sfEp(X\{N  
lR(W@#  
　　1、三角函数本质： ||tFc>ZQ!  
0J;N=^H9c  
　　三角函数的本质来源于定义 ppuMG _  
? LPO@k!  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 GZE71xq  
zb/F oK  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 lf\]}C  
&"u;W'aK8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： u0mo6t  
]K&/&7?yn  
　　推导： HL\<co[V6%  
rX'T ,hG$  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 { wp~ >  
ljs3sL2^  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) rj-ST:7  
A 9BW:`i  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;4 @5_^  
UL9 Dv  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ]PdsX  
s;$NIQc k  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 6UO8iFRS  
xos>m::?  
　　[1] }-1]g7/`  
hn) q]9  
　　两角和公式 :/E'E|V  
kBjSHnX  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D"HK3F$e  
);kN4X  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  <b`Z}ZcAX  
Y]HbwN:^  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k`f:Fkz  
;6N(^dNr5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +XX0Rr9!,  
ah23 "5  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) G-L%5)+E(  
m}#Cvo]LQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ry/vwO  
bkAB\9E2ua  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  8_U)2  
JdF ?Z4D  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) D-=o1S  
0oPG*'  
倍角公式 m,;g jT  
~D.f&fE&  
　　Sin2A=2SinA•CosA pCKt}.M  
vjtx=eji]  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 L~EMAK/v[  
kFyEoC+  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） d]gPN   
#%WA_U+  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） oD46 U  
%$5#{ u Lp  
三倍角公式 .KVsbPJG  
T~z]_L4  
　　 |YMt6qVs  
&um`1ZH  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3024Gx {i  
4#BOs I+ax  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) YNx*4UC  
D^g0]Y]]l  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) HO6_8s [  
F# _4rcN5  
三倍角公式推导 zQKol_ZNW  
)OnAYiULi  
　　sin3a m2g2Wa  
C( `+JW|  
　　=sin(2a+a) Z~P*G0  
Q R;O*`  
　　=sin2acosa+cos2asina 9VhB^PLr#  
7?^iPC,s  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina @x%//2&m  
@m [p tA  
　　=3sina-4sin³a 6Ypfpi5  
VN0*th1c  
　　cos3a ),Z034<8  
jf25og 2  
　　=cos(2a+a) xGh^,KB}  
$Y<65C$  
　　=cos2acosa-sin2asina tJ1 aD  
%@ybX1%!y_  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .=mVc0  
xxrp3#`m  
　　=4cos³a-3cosa vjjI3,^  
^wzbJSP7X  
　　sin3a=3sina-4sin³a ^xt)[X-M  
fAbV =HF&  
　　=4sina(3/4-sin²a) 0"Xz@:C:  
~EB.3-  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] U(oYb D>  
rV=sGoHX  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) !]&~}Y.3  
=B GST4)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) _'-_*I4`  
:"| igat%`  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] qhu$!H  
Y4x`WQe}+  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) w, (GCCp  
l72cXD  
　　cos3a=4cos³a-3cosa WR.N XHrc*  
:+n(mFlqq  
　　=4cosa(cos²a-3/4) eGFarov<  
xRmk#ePqf  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] XZ8 z,k%  
n-,l%@>L  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 4g|<@E"?^  
:*@&7,}6u<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Yhtxv~Y  
Z7KuCA}-E  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 5b>lb+s+O*  
Qx AGK`a  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) L?}mR  
buInYSy  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] s^6?Jh\t  
';^DeD  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] \dwV77qe  
UAn)}Vn)y+  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 0 axSNs  
yC 7}[)-5  
　　上述两式相比可得 K4gmU@F  
|K)J# a  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) :S+wr  
|o#\41!  
半角公式 %#; ]_"  
3g1tE7j-~  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 7 &a3N  
.MreD?>{  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 2z^#m4 c  
q}r!cO -R  
和差化积 c9#8GC H  
3`eZOy  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] dVm,zCba  
uE_==`\  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] k=lTYWX!Q  
Fc2!hZ~0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] L&\*7n!9k  
Hb~oQf}93  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  [!E(iS&  
6"Ca8j_  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) h$eJ"oa  
|pc%CbG  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) -?lI *(eg  
{0Hv l"  
积化和差 &Itn& -  
Z #c[,b_3m  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .\ndu  
: /bf}D%c  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] <$m,c#"Tj  
T;!b  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] w]j@k  
B4D\f),Aa  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] cw}pC\r)  
\+[R,p"  
诱导公式 O~z( kBGY  
.)o=W!P   
　　sin(-α) = -sinα HP4DdL  
.9oh4bN$  
　　cos(-α) = cosα =Q+*`a  
/~ vv[<<?  
　　sin(π/2-α) = cosα rc[>6_ `"  
z|gt0&+  
　　cos(π/2-α) = sinα zIbt6T  
Ym_n;ylec  
　　sin(π/2+α) = cosα ]I>Xm t  
4Jn-e*%W>  
　　cos(π/2+α) = -sinα _L `X5V  
T/3n 6>=  
　　sin(π-α) = sinα U e;n:-B  
<r\d]  
　　cos(π-α) = -cosα ]6vREH3  
(q-$W!=.  
　　sin(π+α) = -sinα kKmG-l5LY  
*>DBh_O  
　　cos(π+α) = -cosα J#F26j7  
/fP|UIv  
　　tanA= sinA/cosA <1@,PsFBB  
yMhc.t[a  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7URcUFjn  
Wm,5s0  
　　tan（π/2－α）＝cotα +3vq]43d^  
R9Ygk%V'  
　　tan（π－α）＝－tanα buj#% Ef  
)D8"HiP-  
　　tan（π＋α）＝tanα .>;YcW"U  
q\~(-nX`Y  
万能公式 WYI:y]Nz`  
wO+i  
　　 3L67qvD  
VoYS ,{  
其它公式 Cof&`C!h  
(I/I9 0  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 '0Kcs: cG  
n&iD{1@  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 q5{AuRNu>  
3lo)D0nSB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ,kB?H}!  
M$Pm%Q8  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  <c^:I  
ArU`o<[i9  
　　对于任意非直角三角形,总有 mR2U7|>e  
6=69   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jm2~;\  
OpAS2pvRYn  
　　证: jq/g  
VR@ ELHM'  
　　A+B=π-C K GPk<G eP  
r}Pd[+$  
　　tan(A+B)=tan(π-C) x(Er_%Sa  
EX$_tl  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Cb_p7y!^  
3..@e  
　　整理可得 -kGPQ Rc  
2UQW9R^q.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC pOzyQ$  
8izTc8J5e  
　　得证 ; \Cs| 4  
0_o:z'- f  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 gJ23+c4AM  
&v"JPfX3  
其他非重点三角函数 Lq?}m}U  
!1m,pd<  
　　csc(a) = 1/sin(a) %Xa$/  
,\{ a  
　　sec(a) = 1/cos(a) zCm8.xP{  
2Os//^=6  
　　 [1}_ue{  
E1JgIANAh]  
双曲函数 .Q1?Vu)@  
bL5> vTH  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,q$Bl,uS  
R{Y<5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5?*n7}  
,Uwasa=  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) CIrG'R  
McnjqJ&Q  
　　公式一： ]{GJ`E{YSr  
]7uDdAC  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ;3D`3#xm?  
QKbk,  
　　sin（2kπ＋α）= sinα t/WOe  
2K Kt!"s  
　　cos（2kπ＋α）= cosα DZ6B*lR  
!_ .`  
　　tan（kπ＋α）= tanα qsl9s3/U)  
f@  cPN  
　　cot（kπ＋α）= cotα MHi["$-i  
bfiV_ td/  
　　公式二： CmY\2cN  
h=Q5i  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： `+pkBax%8  
F,xKX{E]1  
　　sin（π＋α）= -sinα }WKM} dm&  
 wsk=EX  
　　cos（π＋α）= -cosα %% Ou!u=>  
}h2*,^ >  
　　tan（π＋α）= tanα z9JNR =  
)z;g MLD  
　　cot（π＋α）= cotα 9Iv*M7  
,N-`~@b(14  
　　公式三： $6YV*DN  
2"\x-mk!  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： DTTVx>  
8'm!ZT9 6  
　　sin（-α）= -sinα Z7uxfc8>t  
Q9Q}t|D_f!  
　　cos（-α）= cosα L6Nr7pM y  
]-SviW4  
　　tan（-α）= -tanα \V\JlNV}'  
b~feL_Vg  
　　cot（-α）= -cotα 8<}CMM  
'H}"K@?\  
　　公式四： HM@JY  
]G OTndl'  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &/{INn^  
!AB`t) @  
　　sin（π-α）= sinα (*+1w^5[  
&!YKs,_zH  
　　cos（π-α）= -cosα Xl-'=1U=q  
2$JL= :rH  
　　tan（π-α）= -tanα ]z(/(Zi  
/s[d~ aS  
　　cot（π-α）= -cotα z7CF 0_?  
7 -y/8D  
　　公式五： zoiZZct4  
W:Ky8$#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： e9]NH|h*,t  
aCh;D?5o  
　　sin（2π-α）= -sinα 4=GpJAs1  
w"QD^QB)  
　　cos（2π-α）= cosα 7}=ue[-G  
P VG T$L  
　　tan（2π-α）= -tanα ]^R81y&0  
wdT rg36  
　　cot（2π-α）= -cotα KeDB-eii[  
EttV+4  
　　公式六：   XE  
lM4p4R  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： "#g"`z*  
HJ2"O",+  
　　sin（π/2+α）= cosα 1 BGt3:  
vo,y~aEq  
　　cos（π/2+α）= -sinα u=<:Kdd u  
wtp ZbcW  
　　tan（π/2+α）= -cotα 4DM4; l  
J{ T_9J'  
　　cot（π/2+α）= -tanα ~*`k0b*%/  
Z<5*8?  
　　sin（π/2-α）= cosα "G3pNuH  
O4v "W  
　　cos（π/2-α）= sinα !^`i[n  
uFq. 5ux  
　　tan（π/2-α）= cotα dN/ Km}  
=@%"3#@1!  
　　cot（π/2-α）= tanα q6R|$6  
=0jyu2]vk  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )"FZ, .  
1I~=]^VDn  
　　cos（3π/2+α）= sinα -+)5_2D L  
26M]_]KPG  
　　tan（3π/2+α）= -cotα r.UjTU\C  
B/+/> <s  
　　cot（3π/2+α）= -tanα mt d*iM8.  
7T UB_N|6  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ^+w^i>UW  
%l,52NF RU  
　　cos（3π/2-α）= -sinα   Y@]e  
NMnt82(czm  
　　tan（3π/2-α）= cotα $  !PJ  
f>-6!JLX  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]v>k_zO  
/kVi9*|h  
　　(以上k∈Z) wfLk^={%9  
xhm1/*04$`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 <tR| SW}  
UY=\\XZl*  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 8+ 5<M{E  
\#;=rC  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } T<X,T\ Uk,  
a.eWNG|!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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